روش های تکراری برای حل معادلات غیرخطی بر مبنای روش های نیوتن و هوموتوپی

اغلب در آزمایش های علمی و مهندسی به پیدا کردن ریشه های یک معادله غیرخطی برخورد می کنیم.‎‎‎‎ روش های تحلیلی برای حل چنین معادلاتی به ندرت وجود دارند‏، بنابراین می توان امیدوار بود که فقط جواب های تقریبی را به کمک روش های تکراری به دست آوریم‏.‎ در میان روش های مرتبه دو روش نیوتن احتمالاً‎ ‎‎ معروف ترین و پراستفاده ترین الگوریتم می باشد.‎‎‎‎‎ در سال های اخیر چند اصلاح و بهبود برای روش نیوتن پیشنهاد و تجزیه و تحلیل شده اند.‎‎ ‎این‎ روش های اصلاح شده درصدد بهبود مرتبه همگرایی‏، سرعت همگرایی و شاخص کارایی روش نیوتن هستند. ‎ از این روش های تکراری بهبودیافته انتظار می رود که با استفاده از مشتق های مرتبه پایین تر سریعتر به جواب همگرا شوند‏، زیرا در بیشتر موارد محاسبه مشتق های مرتبه بالای تابع ‎f(x) بسیار دشوار است. روش های دیگری برای پیدا کردن ریشه های معادلات غیرخطی از جمله تکنیک هوموتوپی ارائه شده اند. ‎‎ ‎در این پایان نامه به بررسی روش های تکراری اصلاح شده از نوع نیوتن و هوموتوپی و مقایسه آنها پرداخته می شود. در ‎‎فصل اول‎‎‎ مقدمات و تعاریف اولیه مورد نیاز بیان می شوند.‎ در فصل دوم به بررسی روش های تکراری مرتبه سه می پردازیم. این روش ها شامل روش های تدوین شده با استفاده از بسط سری تیلور تابع ‎$‎‎‎f(x)$‏ و استفاده از تجزیه آدومیان‏ و استفاده از خانواده روش های چندپارامتری هستند. در فصل سوم روش های اصلاح شده مرتبه چهار و پنج بررسی می گردند. این روش ها با استفاده از ترکیب توابع تکرار مختلف‏، تقریب مشتق ها‏، ترکیب روش وتری و نیوتن و استفاده از خانواده چندپارامتری ارائه شده اند. در فصل چهارم به بررسی چند روش با مرتبه همگرایی بالاتر از چهار می پردازیم. این روش ها با استفاده از روش های مرتبه پایین تر و معرفی پارامتر های جدید‏، تقریب زدن مشتق ها و استفاده از توابع حقیقی مقدار یک پارامتری و پیدا کردن شرایطی برای بالا بردن مرتبه همگرایی به وجود می آیند. ‎در‎ فصل پنجم روش های تکراری برای پیدا کردن ریشه های چندگانه معادلات غیرخطی را بررسی می کنیم. این روش ها با استفاده از اصلاح روش های تکراری برای پیدا کردن ریشه های ساده‏، تحقیق بر روی طرح های تکراری و استفاده از توابع حقیقی مقدار چندپارامتری ارائه شده اند. ‎ در‎‎‎ فصل ششم ابتدا ایده اساسی روش هوموتوپی برای پیدا کردن ریشه های معادلات غیرخطی معرفی می شود. سپس به بررسی روش های اصلاح شده هوموتوپی می پردازیم. ‎در‎ انتهای هر فصل مقایسه ای بین شاخص کارایی روش های ارائه شده انجام می گردد و مثال های عددی برای تأیید نتایج نظری ارائه می گردند. در پایان نتیجه گیری نموده و پیشنهاداتی در مورد تحقیقات آینده مطرح می نماییم.